Что такое полигон и гистограмма. Использование Excel для расчета статистических характеристик случайной величины
Для выполнения этого задания проделайте следующие пункты.
- Перейдите на новый рабочий лист. Введите данные представленные в примере в ячейки А1:А36.
2. Сначала получите распределение выборки по частотам и относительным частотам (частостям) в виде:
| … | ||||
| … | ||||
| w i | w 1 | w 2 | … | w k |
Для этого в ячейку С1 введите «x i », в ячейку С2 введем «n i » в ячейку С3 ввести w i .
- Далее необходимо заполнить ячейки D1:W1 значениями ряда данных от минимального 0 до максимального 19. Для этого можно использовать маркер заполнения.
4. Затем с помощью функции СЧЁТЕСЛИ подсчитайте, сколько раз наблюдается то или иное значение. Для этого установите курсор в ячейку D2. Вызовите функцию СЧЁТЕСЛИ в строку Диапазон введите абсолютную ссылку на диапазон ячеек $А$1:$А$36 (ссылка на диапазон ячеек должна быть абсолютной!). В строке Критерий введите адрес ячейки D1, в которой находится первая варианта 0 и щелкните ОК. В результате в ячейке появится число 1.
- Теперь с помощью маркера заполнения скопируйте функцию, находящиеся в ячейке D2, в ячейки Е2: W2. В результате получим распределение выборки по частотам:
| x i | ||||||||||||||||||||
| n i |
6. Далее вычислите относительные частоты. Для выполнения этого задания необходимо сначала вычислить объем выборки. Для этого в ячейку Х2 поставьте курсор, нажмите значок автосуммы , а затем на Enter. В результате в этой ячейке появится сумма всех частот 36 (сумма чисел диапазона D2: W2).
7. Вычислите относительные частоты. Для этого поместите курсор в ячейку D3 и наберите в ней формулу: =D2/$Х$2 (ссылка на объем выборки должна быть абсолютной!). Выделите эту ячейку и скопируйте набранную формулу с помощью Маркера заполнения в ячейки D3: W3.
8. Теперь постройте полигон частот. Его можно быстро построить с помощью обычного Мастера диаграмм . Для этого выделите диапазон ячеек D1:W2 и вызовите Мастер диаграмм .
9. В появившемся диалоговом окне Мастера диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы выберите Диаграмма XY , а затем вариант Линии и точки . Нажмите кнопку Далее .
10. В следующем окне Мастера диаграмм (шаг 2 из 4 ): диапазон данных отметьте Ряды в строках , и нажмите Далее .
11. В следующем окне Мастера диаграмм (шаг 3 из 4 ): ряд данных ничегоменять не нужно, нажмите сразу Далее
12. В последнем окне Мастера диаграмм (шаг 4 из 4 ): элементы диаграмм
· в поле Заголовок наберите: «Полигон частот »;
· в поле Ось Х (категорий ): название оси X: «Варианты »;
· в поле Ось Y (значений ): название оси Y: «Частоты »;
13. В области Отображать Сетку снимите галочку с переключателя Ось Y (значений ).
14. В правой области снимите галочку с переключателя Показать легенду и нажмите на кнопку Готово .
16. В результате у Вас должен следующий полигон частот.
17. Теперь постройте полигон относительных частот. Для этого выделите интервал ячеек с вариантами D1:W1, а затем удерживая клавишу Ctrl мышью выделите интервал ячеек с относительными частотами D3:W3.
18. Вызовите Мастер диаграмм и проделайте все те же действия, что и при построении полигона частот, за исключением, подписей. В окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4 ): элементы диаграмм в поле Заголовок наберите: «Полигон относительных частот ». Здесь же необходимо набрать другое название оси Y: «Относительные частоты », название оси Х остается такое же, как и в полигоне частот.
20. После всех выполненных по форматированию этой диаграммы действий обратите внимание на то, что числа на оси Y имеют различное количество знаков после запятой. Чтобы количество знаков после запятой в подписях оси было одинаковым, следует:
- щелкнуть дважды мышью по этой оси;
- в появившемся диалоговом окне Ось Y выбрать вкладку Число ;
- в группе Категория выбрать Числовой и установить Число дробных знаков : 2.
- нажать ОК .
Готовый полигон относительных частот должен иметь вид:
Контрольные вопросы.
1. Для чего предназначена функция СРЗНАЧ?
2. С помощью каких характеристик оценивают разброс статистических данных? Какие функции в Excel их вычисляют? В чем отличие функции оценки разброса данных для генеральной и выборочной совокупности?
3. В чем отличие функций СЧЕТ и СЧЕТЗ?
4. Что такое мода и какая функция ее вычисляет?
5. Что такое медиана и какая функция ее вычисляет?
6. Как вычислить размах варьирования?
7. С помощью каких характеристик оценивают отклонение случайного распределения от нормального? Какой смысл этих характеристик и какие функции в Excel их вычисляют?
8. Что такое Инструменты Анализа ? Как загрузить Пакет Анализа в Excel ?
9. Опишите последовательность действий, которые необходимо совершить для генерации случайных чисел распределенных нормально.
10. Как построить гистограмму?
11. Для чего предназначен инструмент Описательная статистика ?
12. Что называется полигоном частот и полигоном относительных частот?
В результате обработки и систематизации первичных статистических материалов получаются ряды цифровых статистических показателей, которые характеризуют отдельные стороны изучаемых явлений. Эти ряды называются статистическими.
Статистические ряды бывают двух видов: ряды распределения и ряды динамики (рис. 1).
Статистические ряды
Ряды распределения Ряды динамики
Атрибутивные Вариационные
Дискретные Непрерывные
(Интервальные)
Рисунок 1 – Виды рядов распределения
Ряды распределения – это ряды, которые характеризуют распределение единиц совокупности по какому-либо признаку (например, распределение производственного оборудования по видам и срокам службы). Ряд распределения состоит из двух элементов: вариант – значений группировочного признака и частот – число повторений отдельных вариантов значений признака.
Ряд распределения – группировка, в которой для характеристики групп, упорядоченно расположенных по значению признака, применяется только один показатель - численность групп.
Частоты, представленные в относительном выражении, называют частостями и обозначают .
Например, вместо абсолютного числа рабочих, имеющих определённый разряд, можно установить долю рабочих этого разряда. Частости могут быть выражены в долях единицы или в процентах. Замена частот частостями позволяет сопоставить вариационные ряды с различным числом наблюдений.
По характеру вариации различают дискретные и непрерывные признаки. Дискретные признаки отличаются друг от друга на некоторую конечную величину, то есть даны в виде прерывных чисел. Например, тарифный разряд рабочих, количество детей в семье, число рабочих на предприятии. Непрерывные признаки могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину и в определённых границах принимать любые значения. Например, заработная плата рабочих, стоимость основных фондов предприятия.
Атрибутивный ряд распределения образуется по качественному признаку (распределение рабочих по профессиям, машин – по маркам). Вариационный ряд распределения образуется по количественному признаку. Он состоит из вариант и частот. В дискретном ряде распределения отдельные варианты имеют определённые значения (распределение рабочих по разрядам). В тех случаях, когда число вариантов дискретного признака достаточно велико, а также при анализе вариации непрерывного признака, когда значения этого признака у отдельных единиц могут вообще не повторяться, строятся интервальные ряды распределения. Интервал указывает определённые пределы значений варьирующего признака и обозначается верхней и нижней границей интервала.
Различают ряды распределения с абсолютными, относительными и накопленными частотами. Накопленные частоты называют кумулятивными.
Если приведён вариационный ряд с неравными интервалами, то для правильного представления о характере распределения необходимо рассчитать плотность распределения. Плотность распределения – это количество единиц совокупности, приходящихся на единицу величины интервала группировочного признака. Различают абсолютную () и относительную () плотность:
где – частота;
– удельный вес;
– размер интервала.
По форме ряды распределения бывают одно- двух- и многовершинными. Среди одновершинных распределений есть симметричные и асимметричные (скошенные), остро- и плосковершинные.
Графическое изображение рядов распределения облегчает их анализ и позволяет судить о форме распределения.
Для графического изображения дискретного ряда применяют полигон распределения. Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi,mi) , где xi – варианты выборки и mi – соответствующие им частоты. Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов.
Для построения полигона в прямоугольной системе координат в произвольно выбранном масштабе на оси абсцисс откладывают значения аргумента (варианты), а на оси ординат – значения частот. Масштаб выбирают такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность и желательный размер рисунка. Далее строят точки с координатами (xi,mi) и последовательно соединяют их отрезками прямой.
Рисунок 2 – Полигон распределения
Для графического изображения интервальных вариационных рядов применяются гистограммы. Она строится так: на оси абсцисс откладываются равные отрезки, которые в принятом масштабе соответствуют величине интервалов вариационного ряда. На отрезках строят прямоугольники, площади которых пропорциональны частотам (или частностям) интервала.
Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если середины верхних сторон прямоугольников соединяются отрезками прямых. Две крайние точки прямоугольников замыкаются по оси абсцисс на середины интервалов, в которых частоты (частности) равны нулю. При построении гистограммы для вариационного ряда с неравными интервалами следует по оси ординат наносить показатели плотности интервалов (абсолютные или относительные). В этом случае высоты прямоугольников гистограммы будут соответствовать величине плотности распределения.
Рисунок 3 – Гистограмма
При увеличении числа наблюдений из одной и той же совокупности увеличивается число групп интервального ряда, что приводит к уменьшению величины интервала. При этом ломанная линия имеет тенденцию превращения в плавную кривую, которую называют кривой распределения. Кривая распределения характеризует в обобщенном виде вариацию признака и закономерности распределения частот внутри однокачественной совокупности.
Кумулята или кривая накопленных частот в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат – накопленные частоты или частости (рисунок 4).
Накопленной частоты, т. е. число значений, которые попали в этот интервал и все предшествующие.
Рисунок 4 – Кумулята (кривая накопленных частот)
Следует отметить, что кривая накопленных частот не убывает ни на одном участке.
Пример построения группировки рассмотрим в примерах 1 и 2.
Пример 1
Оборот и издержки обращения тридцати торговых предприятий за отчетный период составили (тыс. руб.):
| Магазины, № п/п | Оборот | Издержки обращения |
Для выявления зависимости между размером оборота и издержками обращения произведите группировку магазинов по размеру оборота, образовав пять групп магазинов с равными интервалами. В каждой группе и в целом подсчитайте:
1) число магазинов;
2) размер оборота – всего и в среднем на один магазин;
3) издержки обращения – всего и в среднем на один магазин;
4) структуру товарооборота по группам и структуру издержек обращения;
5) уровень издержек обращения
| У ИО = | Издержки обращения | ×100%. |
| Товарооборот |
6) Решение оформите в разработочной и групповой таблицах. Сделайте выводы, укажите вид группировки. Постройте гистограмму и преобразуйте её в полигон. Постройте кумуляту (кривую накопленных частот).
Решение:
Составим вариационный ряд распределения, упорядочив магазины по товарообороту от большего к меньшему.
| Магазины, № п/п | Оборот | Издержки обращения | Магазины, № п/п | Оборот | Издержки обращения |
| 7 | 341 | 160 | |||
| 11 | 456 | 242 | 19 | 1199 | 635 |
| 5 | 1326 | 623 | |||
Определим величину интервала:
, где
i – величина интервала;
Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение признака (1700 и 341 соответственно).
Величина интервала составит:
Определим границы интервалов:
Разнесем по выделенным интервалам предприятия (разработочная таблица):
Определим в каждой группе и в целом объем оборота – всего и в среднем на один магазин и издержки – всего и в среднем на один магазин, для чего составим группировочную таблицу:
| Группы предприятий по величине оборота | Число предприятий в группе | Суммарный товарооборот в группе | Средний товарооборот по группе | Суммарные издержки обращения по группе | Средние издержки обращения по группе | Уровень издержек обращения по группе, % |
| А | (1) | (2) | (3)=(2)/(1) | (4) | (5)=(4)/(1) | (6)=(4)/(2)*100 |
| 341-612,8 | 398,5 | 50,44 | ||||
| 612,8-884,6 | 744,5 | 345,5 | 46,41 | |||
| 884,6-1156,4 | 998,75 | 482,625 | 48,32 | |||
| 1156,4-1428,2 | 1262,5 | 49,82 | ||||
| 1428,2-1700 | 687,417 | 43,65 | ||||
| Итого | 34679/30= 1155,97 | 15843/30= 528,1 | 528,1/1155,97*100 = 45,68 |
На основании проведенных расчетов построим гистограмму и полигон.
При построении гистограммы по оси Х откладывают значения признака (границы интервалов), а по оси Y – частоты. Для соответствующего интервала строиться прямоугольник, высота которого соответствует частоте признака (рисунок 5).
Рисунок 5 – Гистограмма
Гистограмма может быть преобразована в полигон, если середины верхних граней прямоугольника соединить прямой линией (рисунок 6).
Рисунок 6 – Полигон распределения
Также построим кумуляту или кривую накопленных частот. В этом случае по оси Х откладываем интервалы признака, а по оси Y – накопленные частоты (это количество единиц совокупности, имеющие значения признака меньше указанного) . Накопленные частоты рассчитаны в таблице.
Кривая накопленных частот представлена на рисунке 7.
Рисунок 7 – Кривая накопленных частот
Вывод: Суммарный товарооборот в первой группе 797 тыс. руб., во второй – 4467 тыс. руб., в третьей – 7990 тыс. руб., в четвертой – 2525 тыс. руб., в пятой – 18900 тыс. руб. Средний товарооборот на один магазин в первой группе 398,5 тыс. руб., во второй – 744,5 тыс. руб., в третьей – 998,75 тыс. руб., в четвертой – 1262,5 тыс. руб., в пятой – 1575 тыс. руб.
Суммарные издержки обращения в первой группе 402 тыс. руб., во второй – 2073 тыс. руб., в третьей – 3861 тыс. руб., в четвертой – 1258 тыс. руб., в пятой – 8249 тыс. руб. Средний издержки обращения в первой группе 201 тыс. руб., во второй – 345,5 тыс. руб., в третьей – 482,625 тыс. руб., в четвертой – 629 тыс. руб., в пятой – 687,417 тыс. руб.
На основании полученных значений можно сделать вывод о прямой зависимости между размером оборота и средними издержек обращения: при росте размера оборота средние издержки обращения увеличиваются. На основании анализа уровня издержек обращения можно сделать вывод, что наиболее конкурентны предприятия пятой группы, поскольку у них уровень издержек ниже среднего.
Пример 2
По данным таблицы постройте ряды распределения домохозяйств, рассчитав число домохозяйств, входящих в те или иные группы:
а) по числу совместно проживающих человек (1,2,3,4 и более)
б) по среднему размеру доходов на душу населения в месяц (образовав 5 групп с равными интервалами)
в) по статусу занятости главы семьи.
| № п/п | Число членов в семье | Статус главы семьи по месту в занятости | |
| 1. | Самозанятость | ||
| 2. | По найму | ||
| 3. | По найму | ||
| 4. | По найму | ||
| 5. | По найму | ||
| 6. | Нет работы | ||
| 7. | Нет работы | ||
| 8. | Самозанятость | ||
| 9. | Нет работы | ||
| 10. | По найму | ||
| 11. | По найму | ||
| 12. | По найму | ||
| 13. | Самозанятость | ||
| 14. | По найму | ||
| 15. | По найму | ||
| 16. | По найму | ||
| 17. | По найму | ||
| 18. | Нет работы | ||
| 19. | Нет работы | ||
| 20. | Самозанятость | ||
| 21. | Нет работы | ||
| 22. | По найму | ||
| 23. | По найму | ||
| 24. | По найму | ||
| 25. | По найму | ||
| 26. | По найму | ||
| 27. | Самозанятость | ||
| 28. | Нет работы | ||
| 29. | По найму | ||
| 30. | По найму | ||
| Итого | - | - |
Решение:
Построим ряды распределения домохозяйств, рассчитав число домохозяйств, входящих в те или иные группы:
Общее число семей, имеющих разный статус глав семей по месту в занятости, представлено в таблице. В этом случае группировка строиться по качественному признаку. Число групп совпадает с числом признаков: самозанятость, по найму, нет работы.
Общее число глав семей, имеющих разный статус по месту в занятости (са Общее число семей, имеющих разный статус глав семей по месту в занятости, представлено в таблице. В этом случае группировка строиться по качественному признаку. Число групп совпадает с числом признаков: самозанятость, по найму, нет работы.
Группировка по числу совместно проживающих человек (1,2,3,4 и более), представлено в таблице. В этом случае группировка строиться по количественному дискретному признаку.
Таким образом, 33% всех обследованных семей состоят из трех человек. 13% семей состоят из 4 и более человек. Доли семей, состоящих из 1 человека – 17%, из 2 человек – 37%.
Построим группировку по среднему размеру доходов на душу населения в месяц (образовав 5 групп с равными интервалами);
На начальном этапе проранжируем ряд от меньшего к большему:
| Номер домохозяйства | Среднемесячный доход на душу, руб. | Номер домохозяйства | Среднемесячный доход на душу, руб. |
Определим величину интервала по формуле:
, где
i – величина интервала;
n – число групп (в данной задаче 5 группы);
Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение признака.
Величина интервала составит:
Разнесем по выделенным интервалам домашние хозяйства:
Это и будет интервальный ряд распределения.
Рисунок 8 – Гистограмма распределения
Таким образом, в 50% всех обследуемых домашних хозяйствах среднедушевой доход составляет от 4800 рублей до 7460 рублей на человека. Доход от 2140 до 4800 рублей на человека наблюдается в 16% всех семей. Доход от 7460 до 10120 рублей на человека наблюдается в 20% всех обследованных семей. Доля семей, где среднедушевой доход составляет от 10120 до 12780, а также от 12780 до 15440 рублей, равна 7%.
Вопросы для самопроверки
Полигон частот
Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:
Рисунок 1.
Определение 1
Полигон частот -- ломанная, которая соединяет точки $(x_m,n_m)$ ($m=1,2,\dots ,m)$.
То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной:
Рисунок 2. Полигон частот.
Помимо обычной частоты существует еще понятие относительной частоты.
Получаем следующую таблицу распределения относительных частот:
Рисунок 3.
Определение 2
Полигон относительных частот -- ломанная, которая соединяет точки $(x_m,W_m)$ ($m=1,2,\dots ,m)$.
То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:
Рисунок 4. Полигон относительных частот.
Гистограмма частот
Помимо понятия полинома для непрерывных значений существует понятие гистограммы.
Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $\frac{n_ih}{h}=n_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $\sum{n_i}=n$, то есть равна объему выборки.
Определение 4
Гистограмма относительных частот -- ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием -- частичными интервалами длины $h$ и высотами $\frac{W_i}{h}$:
Рисунок 6. Гистограмма относительных частот.
Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $\frac{W_ih}{h}=W_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $\sum{W_i}=W=1$.
Примеры задачи на построение полигона и гистограммы
Пример 1
Пусть распределение частот имеет вид:
Рисунок 7.
Построить полигон относительных частот.
Построим сначала ряд распределения относительных частот по формуле $W_i=\frac{n_i}{n}$
Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.
Определение . Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , n 1), (x 2 , n 2), …, (x k , n k).
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат – соответствующие им частоты n i . Точки (x i , n i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , w 1), (x 2 , w 2), …, (x k , w k).
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат w i . Точки (x i , w i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.
На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:
Рис. 6. Полигон относительных частот.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n i – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.
Определение . Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).
Рис. 7. Гистограмма частот.
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .
Площадь i-го частичного прямоугольника равна =─ сумме частот вариантi-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.
На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n=100, приведенного в таблице 1.
|
Частичный интервал, длиною h=5 |
Плотность частоты |
|
Определение . Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадьi-го частичного прямоугольника равна =─ относительной частоте вариант, попавших вi-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.
В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.
Построить полигоны частот и относительных частот распределения.
Для начала построим полигон частот.
Рис. 8. Полигон частот.
Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.
n = 3 + 10 + 7 = 20.
Получаем
Построим полигон относительных частот.
Рис. 9. Полигон относительных частот.
2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.
Найдем плотность частоты :
|
Частичный интервал, длиною h = 3 |
Сумма частот вариант частичного интервала |
Плотность частоты |
Для наглядности строят различные графики статистического распределения, и, в частности, полигон и гистограмму.
Полигон
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Такие точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты (частости) . Такие точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Пример 1
Построить полигон частот и полигон относительных частот (частостей):
| 2 | 7 | 8 | 15 | 16 | 17 | 15 | 35 | 64 | 55 | 21 | 10 |
Вычислим относительные частоты (частости):
| Относительные частоты, | 2 | 15 | 0.075 | 7 | 35 | 0.175 | 8 | 64 | 0.320 | 15 | 55 | 0.275 | 16 | 21 | 0.105 | 17 | 10 | 0.050 | Итого | 200 | 1.000 |
Полигон частот
Полигон относительных частот
В случае интервального ряда для построения полигона в качестве берутся середины интервалов.
- К оглавлению решебника по
- Теории вероятностей и математической статистике 〉〉
- Статистике 〉〉
Гистограмма
В случае интервального статистического распределения целесообразно построить гистограмму.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты (в случае равных интервалов) должны быть пропорциональны частотам. При построении гистограммы с неравными интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность частоты . Это необходимо сделать для устранения влияния величины интервала на распределение и иметь возможность сравнивать частоты.
В случае построения гистограммы относительных частот (гистограммы частостей) высоты в случае равных интегралов должны быть пропорциональны относительной частоте , а в случае неравных интервалов высота равна плотности относительной частоты .
Пример 2
Построить гистограмму частот и относительных частот (частостей)
| 2-5 | 5-8 | 8-11 | 11-14 | 14-17 | 17-20 | 15 | 35 | 64 | 55 | 21 | 10 |
Вычислим относительные частоты:
| Интервалы, | Относительные частоты, | 2 – 5 | 15 | 0.075 | 5 – 8 | 35 | 0.175 | 8 – 11 | 64 | 0.320 | 11 – 14 | 55 | 0.275 | 14 – 17 | 21 | 0.105 | 17 – 20 | 10 | 0.050 | Итого | 200 | 1.000 |
Гистограмма частот
Гистограмма относительных частот
Пример 3
Построить гистограмму частот (случай неравных интервалов).
| 2-4 | 4-8 | 8-13 | 13-15 | 15-17 | 17-20 | 15 | 35 | 64 | 55 | 21 | 10 |
Вычислим плотности частоты:
| Интервалы, | Длина интервала, | Плотность частоты, | 2 – 4 | 15 | 2 | 7.500 | 4 – 8 | 35 | 4 | 8.750 | 8 – 13 | 64 | 5 | 12.800 | 13 – 15 | 55 | 2 | 27.500 | 15 – 17 | 21 | 2 | 10.500 | 17 – 20 | 10 | 3 | 3.333 | Итого | 200 | -- | -- |
Гистограмма частот